СВОБОДНО СЪЧИНЕНИЕ С ПИТАГОРОВАТА ТЕОРЕМА

I

Осмелявам се да предложа на вниманието на аудиторията едно най-свободно приложение на Питагоровата теорема. Аз не съм математик и не бих могъл да съм. За контекст на теоремата вземаме въпроса, какво е въздействието на упойващите средства върху индивида. Под средства обозначаваме най-широк ареал от субстрати и абстракти: алкохол, наркотици, сънувания, мечтания, фантазми. Под индивид обхващаме общото и конкретното, функционалността и историята. Под въздействие ще си мислим за трайното и моментното, напъхването в клопката и опитите за измъкване. Както виждате, една крайно широка и неопределена база около тривиален въпрос, хлъзгава и лабилна база; типична спекулативна база. Логично е да се помисли, че на такава основа е неправомерно да се градят теореми, хипотези, обобщения, разбори. И си е така.

a² + b² = c², предлага Питагор. Подема го хорът на евклидовата геометрия. Доказването, че съществува и неевклидова геометрия (и че светът е в крайна сметка - от 19 век насам - неевклидов), е в наша полза - ние не бягаме от спекулативния характер на построенията си. Напротив: вземаме повод именно от спекулативната евклидова геометрия.

Ето как предлагаме тълкуването на въпроса за упойващото въздействие върху индивида, преобличайки Питагоровата теорема:

физиология² + социум² = интелект²

Преди да начертаем триъгълника, нека припомним обосновката на теоремата, изходните й пунктове и крайните й уравнения. В евклидовата геометрия сборът на вътрешните ъгли в триъгълника е точно 180 градуса. Ни повече, ни по-малко. „Защо?” до 19 век се питат и се мъчат да докажат този пети евклидов постулат чрез другите четири. Но все не се получава; a + b + c = 180⁰ си остава аксиома, която не се доказва. Проблемът е в паралелите. Да, действително в паралелите – правомерни ли са те?

Нека се отклоним с един простичък паралел. Пример от науката за езика. Кои са начините да обясниш, посочиш, уточниш едно нещо: предмет, явление, действие, усещане и прочие? Два трасиращи подхода: чрез дефиниране и чрез сравнение. Дефинирането е разрез в дълбочина, наглед чрез канонични реалии или приети за реалии, онтологично извеждане на понятията – дай боже, с материална, „напипана” основа. Сравнението е характерният евклидов паралел: проектиране на понятието в подредена, позната, нагодена към нас среда; без нужда от доказване на целесъобразността; но с дълбоката потребност от разбираемост. Ако не бъде разбрано, сравнението отпада като такова; а при дефинирането не е необходимо такова отпадане. Пример: ако оприлича пред невръстния си син един човек на дюнер и синът ми не знае що е то дюнер, той няма да ме разбере. Сравнението ще бъде фиктивно, несъстояло се по основния си атрибут: разбираемостта. Но ако обясня на сина си, че същият човек е като мек хлебен джоб, навит на цилиндър или фуния, в който е натъпкано ядене [изрезки от печено месо, пържен лук и сосове], той ще ме разбере. Кой знае какво ще си помисли детето и как ще го възприеме, но ще разбере. И въпросът не е лингвистичен, речников. Ще дам и друг пример: извеждането на природата като химична конфигурация е дефиниране, затова пък извеждането на природата като творение на бог е класическо сравнение. Затова и е логично неверието в бог: като не знаеш що е дюнер, как ще знаеш що е бог? Или пък знаеш що е дюнер, но посоченият от баща ти човек съвсем не ти мяза на дюнер – тогава защо да вярваш в бащиния бог? И простичко следствие: що пък да не си измислиш ти… сравнение [бог]? Видно е как аксиоматичното приемане на задължителен паралел [при евклидовата геометрия] – сравнението – поражда множество главоболия и несистематичност. Ала веднъж приета [разбрана], аксиомата предизвиква стройна система.

Вижте този чертеж:

M и N са паралелни прави, противоположните ъгли на a и b са аналогични за пресечните прави P и R. a + b + c = 180⁰ [360⁰ делено на две]. Аналогията е велико нещо и здраво заседнало в учебните програми и образователните изисквания. Впоследствие неевклидовци ще променят формата на равнината, ще намаляват градусите под 180⁰, ще създават геометрии с множество паралелни линии или пък изобщо без нито една… Но да изоставим тази посока, и без това навлязохме в дебри, непознати ни (математиците сред аудиторията вече се подсмихват, конспектирали наум нашата аматьорщина). И така, четвъртфиналът е взет: сборът на ъглите в триъгълника = 180⁰. Продължаваме към полуфиналите, към другите нива в турнира. Тука обаче ни очаква ново условие, нова тънкост, ново виртуозно предприемане. Сега вече ще играем не срещу какъв да е триъгълник, а срещу правоъгълен. И без това 180⁰ са множко, ще ги намалим наполовина; правият ъгъл е 90⁰. Правим го, разбира се, от хитрост. Има и още нещо. Ако ни се наложи да разделим триъгълника на два малки, като начертаем отсечка от правия ъгъл към хипотенузата, но не каква да е, а перпендикулярна отсечка, с ъгли от 90⁰, тогава ще има какво? Още два триъгълника, прегледни, правоъгълни, вградени. Следователно в следващия мач ще трябва да докажем, че два правоъгълни триъгълника са подобни. Да чертаем ли отново? Да чертаем:

c и c' са по 90⁰. Сборът е 180⁰, значи a + b = 90⁰ и a' + b' = 90⁰, значи a + b = a' + b'. Винаги е приятно, когато можеш да изведеш и допълнително следствие. Ако един от острите ъгли в два правоъгълни триъгълника е равен на този в другия триъгълник, то триъгълниците са подобни; тогава и съответните страни са пропорционални една на друга, а именно:

Изводът от полуфинала е айнщайновски: съотношенията на страните в правоъгълния триъгълник се определят от един от острите ъгли. Ще пропуснем тригонометричните коментари след мача, където впрочем ще бъдат пуснати в употреба и нови думички като „синус”, „косинус” и т.н., и ще подострим молива за последния си чертеж, подсказан по-горе:

Както хитро се застраховахме, сега имаме три правоъгълни триъгълника; и трите, за щастие, подобни. Хипотенузата на триъгълника майка е разделена на две: m и n, които пък са катетчета на правоъгълните две дечица. Сборът от двете посочва коя е майката: m + n = c. Настава моментът, в който ще използваме тактиката от полуфинала: пропорционалността на различните страни на подобните триъгълници. Излиза, че

Манипулираме: А2 = mc и B2 = nc. Както се казва на професионален спортен жаргон, това е Питагоровата теорема, но в скрит вид. Накрая ни остава да проявим извечния човешки [математически] инстинкт: когато в две неща има нещо общо, що да не ги съберем, за да видим какво ще излезе? Така е устроена и природата: за да научат какво е общото помежду им, мъжкото и женското се събират и се пръква детското. Така Дарвин е сглобил еволюцията. Но да зарежем безвкусните каламбури, от които някои ще се погнусят, и да съберем двете уравнения:

                           A2 + B2 = (m +n)c

Помним, че двете деца [m + n] са [=] на майката [c]. И с това прозвучава последният съдийски сигнал (същият като началния): a2 + b2 = c2.

Преди да пристъпим към основния си предмет, към въпросчето, заявено at the beginning of the chapter, не можем да се въздържим да не припомним, че всичко това важи за евклидовото първенство. Ако се окаже, че сме играли в друг, неевклидов шампионат, а сме поканили за рефер Евклид, то тогава, дето се вика, ще ни се смее целият Млечен път.

глава [следваща]

1 от 6. De rerum naturis [1]
май-юни 2008 © Огнян Антов & Anapest.Org